Practica por temas

Consideramos las matrices $A$ de dimensión $3 \times 3$ que satisfacen que $3A + I = A^2$, donde $I$ es la matriz identidad de dimensión $3 \times 3$.

Encuentra los valores de $a$ y $b$ para los que $A \cdot A^t = I_3$ donde $$A = \begin{pmatrix} \cos b & \sen b & 0 \\ -\sen b & \cos b & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix},$$ $I_3$ es la matriz identidad de orden 3 y $A^t$ la matriz traspuesta de $A$.

Calcula todas las matrices $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ tales que $a + d = 1$, tienen determinante 1 y cumplen $AX = XA$, siendo $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Considere las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

La producción de una empresa la realizan, a partes iguales, cuatro turnos, de los que tres son diurnos y uno nocturno. El porcentaje de piezas defectuosas producidas en cada turno diurno es el $2\%$ y en el nocturno es del $10\%$. Si se toma una pieza al azar de un turno al azar,