Practica por temas

Se considera la función $f(x) = \sqrt{\frac{1}{2} - \sen \frac{\pi x}{6}}$

Hallar $a, b, c$ de modo que la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ alcance en $x = 1$ un máximo relativo de valor $2$, y tenga en $x = 3$ un punto de inflexión.

En una circunferencia de radio $10\,\text{cm}$, se divide uno de sus diámetros en dos partes que se toman como diámetros de dos circunferencias tangentes interiores a ella. ¿Qué longitud debe tener cada uno de estos dos diámetros para que sea máxima el área delimitada por las tres circunferencias (región sombreada)?

De la función polinómica $P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2$ sabemos que: — tiene un extremo relativo en el punto de abscisa $x = -3$; — la integral definida en el intervalo $[0, 1]$ vale $-\frac{5}{4}$. Calcule el valor de los parámetros $a$ y $b$.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} x + 2y + (m + 3)z = 3 \\ x + y + z = 3m \\ 2x + 4y + 3(m + 1)z = 8 \end{cases}$$