Practica por temas

5º) Sea $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$. Las rectas tangentes a la gráfica de la función $f$ en los puntos de abscisas $x = -1$ y $x = 2$ son paralelas. Además, $f$ tiene un extremo relativo cuando $x = 1$ y $f(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x}-1}{x}$. $a)$ Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$. $b)$ Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -1$ para los valores de los parámetros $A = -3$, $B = 0$ y $C = 4$.

Con una cuerda de $2$ metros queremos construir un cuadrado de lado $l$ y un círculo de radio $r$ de modo que la suma de sus áreas sea mínima. ¿Cuánto deben medir $l$ y $r$?

Sea $f(x) = \frac{x}{1 - \sqrt{1 + x}}$ una función definida en $[-1, +\infty)$.

Se da el sistema $\begin{cases} x + y + 2z = 2 \\ -3x + 2y + 3z = -2 \\ 2x + \alpha y - 5z = -4 \end{cases}$ donde $\alpha$ es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: