Practica por temas

a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$. $$\begin{cases} x - y - z = 1 \\ x + 2y + z = -4 \\ x - 4y - 3z = a^2 - 3 \end{cases}$$

Calcule $\alpha$ para que el siguiente sistema homogéneo tenga más soluciones que la trivial. Resuélvalo para dicho valor de $\alpha$ y dé una interpretación geométrica del sistema de ecuaciones y de su solución. $$\begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ 2x + y - \alpha z = 0 \\ x - y - z = 0 \end{cases}$$

Discute en función del parámetro $m$ el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} mx + my = 1 \\ 3x + mz = m - 2 \\ -y + z = m - 3 \end{cases}$$ ¿Existen casos de indeterminación? Si la respuesta es afirmativa resolver el sistema en esos casos. Si es negativa explicar por qué.

Se quiere hacer una puerta rectangular coronada por un semicírculo como el de la figura. El hueco de la puerta tiene que tener $16$ metros cuadrados. Si es posible, determina la base $x$ para que el perímetro sea mínimo.