Practica por temas

Considere el sistema matricial $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a \\ 3a & 2a & 2a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Se dispone de un hilo metálico de longitud $140$ m. Se quiere dividir dicho hilo en tres trozos de forma que la longitud de uno de los trozos sea el doble de la longitud de otro y tal que, al construir con cada uno de los tres trozos de hilo un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Encontrar la longitud de cada trozo.

Sea la función $f(x) = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3$.

Se quiere construir una caja sin tapa de forma que tenga dos caras paralelas cuadradas de lado $x$ y tres caras rectangulares, dos de ellas paralelas, de lados $x$ e $y$, como la figura. Si se quiere utilizar $3\,\text{m}^2$ de material, calcule los valores de $x$ e $y$ para que la capacidad de la caja sea máxima.

a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$. $$\begin{cases} x - y - z = 1 \\ x + 2y + z = -4 \\ x - 4y - 3z = a^2 - 3 \end{cases}$$