Practica por temas

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{xe^x - \ln(1+x) - (a+1)x}{x^2}$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Calcula $\int_{3}^{8} \frac{1}{\sqrt{1+x}-1} dx$. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = \sqrt{1+x}-1$.)

Calcule $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x) - \sen x}{x \cdot \sen x}$.

Da respuesta a los apartados siguientes: a) Mediante integración por partes, demuestra que ∫ ln x dx = x(ln x − 1) + C. Luego, demuestra la misma igualdad mediante derivación. b) Si f(x) = {ln x si x ∈ (0, e]; ax + b si x ∈ (e, ∞)}, di qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable. c) Calcula el área de la región encerrada por el eje X, la recta x = 4 y la gráfica de f(x) = {ln x si x ∈ (0, e]; x/e si x ∈ (e, ∞)}.