Matemáticas CCSS · La Rioja 2022

Usamos una balanza de brazos muy sensible para pesar tres tipos de piezas (A, B y C) comparando su peso con el de una barrita que sabemos que pesa $13$ gramos. Todas las piezas de un mismo tipo pesan igual. Descubrimos que: (i) La barrita pesa lo mismo que una pieza C y dos piezas B juntas; (ii) tres piezas A pesan lo mismo que dos piezas B; (iii) una pieza C pesa lo mismo que dos piezas A y una pieza B.

Consideramos la función $f$ dada (en los valores reales $x$ donde la expresión tiene sentido) por $$f(x) = \frac{3x - 2}{x - 1}$$

Un amigo meteorólogo nos ha facilitado algunas probabilidades de lluvia en la mañana del próximo sábado, concretamente para los siguientes sucesos: $A =$ "hay lluvia entre las 8 y las 9"; $B =$ "hay lluvia entre las 8 y las 10"; $C =$ "hay lluvia entre las 10 y las 14". Nos ha dicho que $P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}5$ y $P(C) = 0{,}7$. A nosotros nos interesa sobre todo la probabilidad de $D =$ "hay lluvia entre las 9 y las 10". No nos la ha dado, pero nos ha dicho que $P(A \cap D) = 0{,}35$.

Una matriz cuadrada $A$ se dice idempotente si $A^2 = A$.

Encuentra los valores de $a$ y $b$ que hacen que la función dada por $$f(x) = x^3 - ax^2 - bx + 1$$ cumpla las dos propiedades siguientes: (i) Su derivada vale lo mismo en $x = 0$ y en $x = 1$. (ii) Tiene un extremo relativo en $x = -1$.

Al $40\%$ de la población española no le gusta el vino. En España, de cada $1000$ personas $7$ son riojanas, pero entre quienes gustan del vino la proporción de personas riojanas es $1/120$. Escogemos una persona española al azar y resulta que es riojana. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste el vino?

Dibuja la región del plano formada por los puntos $(x, y)$ que cumplen: $$\begin{cases} 0 \leq y \\ 0 \leq x \\ x + y \leq 6 \\ 2x + y \leq 10 \\ x + 2y \leq 10 \end{cases}$$

El diseño del nuevo logo de Climbing Sports se ajusta en altura a la gráfica de la siguiente función: $$f(x) = \begin{cases} x & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 2x + a & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ b(x - 3)^2 & \text{si } 2 \leq x \leq 3 \end{cases}$$

En los poblados maruba utilizan el punde como medida de distancia, y toman lo largo de una valla para fijar su valor. Este es distinto en cada poblado. Queremos estimar el valor medio de los distintos pundes en metros, considerando que la distribución es normal con desviación típica de $4$ metros y que las medidas en todos los poblados son independientes entre sí. A partir de una muestra de $25$ pundes calculamos un intervalo de confianza para situar dicho valor medio, y resulta el intervalo $(74{,}864, 77{,}496)$.