Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2022Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2022

9 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El examen está distribuido en tres bloques, cada uno con 3 ejercicios. En total se debe contestar a 4 ejercicios, de dos maneras posibles: o bien se eligen dos bloques y se contesta a 2 de cada uno de ellos, o bien se contesta a 2 de un bloque y a 1 de cada bloque restante. Para evitar confusiones, se recomienda consignar claramente en la primera página de las hojas de respuestas a qué cuatro ejercicios se responde en el examen. Todos los ejercicios valen 2.5 puntos, y en la mayoría de ellos dicha puntuación se desglosa con más detalle. Todas las respuestas deben ser debidamente justificadas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean ni programables ni gráficas, y que no calculen integrales. El tiempo disponible para resolver el examen es de una hora y media.

Ejercicio 1 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal

1Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Usamos una balanza de brazos muy sensible para pesar tres tipos de piezas (A, B y C) comparando su peso con el de una barrita que sabemos que pesa 1313 gramos. Todas las piezas de un mismo tipo pesan igual. Descubrimos que: (i) La barrita pesa lo mismo que una pieza C y dos piezas B juntas; (ii) tres piezas A pesan lo mismo que dos piezas B; (iii) una pieza C pesa lo mismo que dos piezas A y una pieza B.
a
¿Cuánto pesan las piezas de cada tipo?1,75 pts
b
Si la relación (ii) hubiera sido que una pieza B pesa como dos piezas A y una pieza C, al resolver el problema nos daríamos cuenta de que alguna relación debería ser falsa. ¿Por qué?0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 1 · Bloque 2. Análisis

1Bloque 2. Análisis
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Consideramos la función ff dada (en los valores reales xx donde la expresión tiene sentido) porf(x)=3x−2x−1f(x) = \frac{3x - 2}{x - 1}
a
¿Cuál es el dominio de dicha función?0,3 pts
b
Calcula la derivada f′(x)f'(x). ¿En qué puntos xx es f′(x)=−1f'(x) = -1? ¿En cuáles es f′(x)=1f'(x) = 1? ¿Tiene ff extremos relativos?1,1 pts
c
Dibuja la gráfica de ff, señalando los cortes con los ejes y las asíntotas horizontales y verticales.1,1 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 1 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad

1Bloque 3. Estadística y Probabilidad
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Un amigo meteorólogo nos ha facilitado algunas probabilidades de lluvia en la mañana del próximo sábado, concretamente para los siguientes sucesos: A=A = "hay lluvia entre las 8 y las 9"; B=B = "hay lluvia entre las 8 y las 10"; C=C = "hay lluvia entre las 10 y las 14". Nos ha dicho que P(A)=0,4P(A) = 0{,}4, P(B)=0,5P(B) = 0{,}5 y P(C)=0,7P(C) = 0{,}7. A nosotros nos interesa sobre todo la probabilidad de D=D = "hay lluvia entre las 9 y las 10". No nos la ha dado, pero nos ha dicho que P(A∩D)=0,35P(A \cap D) = 0{,}35.
a
¿Cómo interpretarías P(B)−P(A)P(B) - P(A)? Calcula entonces el valor de P(D)P(D). ¿Cuál es la probabilidad de que no llueva de 9 a 10?1,5 pts
b
Nos dice además que BB y CC son independientes, porque estará despejado entre las 10 y las 12. Calcula entonces la probabilidad de que llueva durante la mañana (entre las 8 y las 14).1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal

2Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Una matriz cuadrada AA se dice idempotente si A2=AA^2 = A.
a
Estudia las matrices 2×22 \times 2 que sean de la forma (21ab)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ a & b \end{pmatrix} o de la forma (2ba1)\begin{pmatrix} 2 & b \\ a & 1 \end{pmatrix} que sean idempotentes. Encuentra en cada caso el valor de aa y bb.2 pts
b
Si AA es idempotente, calcula A2022A^{2022}.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Bloque 2. Análisis

2Bloque 2. Análisis
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Encuentra los valores de aa y bb que hacen que la función dada porf(x)=x3−ax2−bx+1f(x) = x^3 - ax^2 - bx + 1cumpla las dos propiedades siguientes: (i) Su derivada vale lo mismo en x=0x = 0 y en x=1x = 1. (ii) Tiene un extremo relativo en x=−1x = -1.
a
Calcula los valores de aa y bb.1,75 pts
b
¿Qué propiedad cumplen las rectas tangentes a la gráfica y=f(x)y = f(x) en los puntos de abscisa 00 y 11? ¿Qué tipo de extremo relativo (máximo o mínimo) tiene ff en −1-1?0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad

2Bloque 3. Estadística y Probabilidad
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Al 40%40\% de la población española no le gusta el vino. En España, de cada 10001000 personas 77 son riojanas, pero entre quienes gustan del vino la proporción de personas riojanas es 1/1201/120. Escogemos una persona española al azar y resulta que es riojana. ¿Cuál es la probabilidad de que le guste el vino?
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal

3Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Dibuja la región del plano formada por los puntos (x,y)(x, y) que cumplen:{0≤y0≤xx+y≤62x+y≤10x+2y≤10\begin{cases} 0 \leq y \\ 0 \leq x \\ x + y \leq 6 \\ 2x + y \leq 10 \\ x + 2y \leq 10 \end{cases}
a
Dibuja la región del plano.1 pt
b
Averigua el valor máximo que alcanza en dicha región la función dada por f(x,y)=4x+3yf(x, y) = 4x + 3y.1 pt
c
Si dicho valor máximo se alcanza en un punto (x0,y0)(x_0, y_0), ¿sabrías expresar una función cuyo máximo lo alcance en (y0,x0)(y_0, x_0)?0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Bloque 2. Análisis

3Bloque 2. Análisis
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
El diseño del nuevo logo de Climbing Sports se ajusta en altura a la gráfica de la siguiente función:f(x)={xsi 0≤x<12x+asi 1≤x<2b(x−3)2si 2≤x≤3f(x) = \begin{cases} x & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ 2x + a & \text{si } 1 \leq x < 2 \\ b(x - 3)^2 & \text{si } 2 \leq x \leq 3 \end{cases}
Gráfica de la función f(x) que representa el logo, con una zona sombreada entre x=2 y x=3.
a
Calcula los valores de aa y bb.1 pt
b
El material de la parte más oscura elevará el coste de producción de las prendas de la marca. ¿Cuánto vale el área de dicha parte?1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad

3Bloque 3. Estadística y Probabilidad
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
En los poblados maruba utilizan el punde como medida de distancia, y toman lo largo de una valla para fijar su valor. Este es distinto en cada poblado. Queremos estimar el valor medio de los distintos pundes en metros, considerando que la distribución es normal con desviación típica de 44 metros y que las medidas en todos los poblados son independientes entre sí. A partir de una muestra de 2525 pundes calculamos un intervalo de confianza para situar dicho valor medio, y resulta el intervalo (74,864,77,496)(74{,}864, 77{,}496).
Datos
  • desviación típica σ=4 m\sigma = 4\,\text{m}
  • n=25n = 25
a
¿Cuál es el valor promedio de nuestra muestra?0,5 pts
b
¿Con qué nivel de confianza hemos obtenido el intervalo?1,5 pts
c
¿Cuántos pundes necesitaríamos medir para reducir el error muestral a la mitad, con el mismo nivel de confianza?0,5 pts
Ver este ejercicio