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la cuevadel empollón
Matemáticas IICantabriaPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas II · Cantabria 2021

8 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. 1. Deben escogerse solo cuatro ejercicios elegidos entre los ocho de que consta el examen. 2. Si realizan más de cuatro ejercicios solo se corregirán los cuatro primeros, según el orden que aparecen resueltos en el cuadernillo de examen. 3. Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas. 4. Entre corchetes se indica la puntuación máxima de cada apartado. 5. No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. Tampoco está permitido el uso de dispositivos con acceso a Internet.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones: {λ2x+3y=3λ3x+y=3\begin{cases} \lambda^2 x + 3y = 3\lambda \\ 3x + y = 3 \end{cases} dependiente del parámetro λ\lambda.
a
Determina para qué valores de λ\lambda el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvelo en ese caso.1 pt
b
Determina para qué valores de λ\lambda el sistema tiene solución única y resuélvelo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro λ\lambda si es necesario.1 pt
c
Determina para qué valores de λ\lambda el sistema no tiene solución.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera la función f(x)=xexf(x) = \frac{x}{e^x}.
a
Calcula la derivada primera.0,5 pts
b
Halla los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento.0,5 pts
c
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto x=2x = 2.0,5 pts
d
Calcula lim⁡x→∞f(x)\lim_{x \to \infty} f(x).1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera los puntos A=(1,1,0)A = (1, 1, 0), B=(0,1,1)B = (0, 1, 1), C=(−1,0,1)C = (-1, 0, 1) y el origen de coordenadas OO.
a
Calcula la ecuación del plano, Π\Pi, que contiene a los puntos AA, BB y CC.0,75 pts
b
Comprueba que el origen de coordenadas, OO, está contenido en el plano Π\Pi.0,25 pts
c
Comprueba que AB⃗\vec{AB} es paralelo a OC⃗\vec{OC} y que AO⃗\vec{AO} es paralelo a BC⃗\vec{BC}.0,5 pts
d
Calcula el área del paralelogramo ABCOABCO.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Una determinada especie de aves siempre pone dos huevos, pero a la madre solo le es posible alimentar a un polluelo, el más fuerte de los dos. El polluelo del huevo que primero eclosiona tiene un 60%60\% de probabilidad de ser el superviviente, mientras que el polluelo del huevo que eclosiona en segundo lugar tiene una probabilidad de sobrevivir del 30%30\%.
a
Calcula la probabilidad de que un polluelo cualquiera sea el superviviente, si no sabemos si eclosionó en primer lugar o en segundo lugar su huevo.1,25 pts
b
Calcula la probabilidad de que un ave adulta de dicha especie proceda de un huevo eclosionado en segundo lugar.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Considera la ecuación matricial XA−2X=AXA - 2X = A, en donde A=(2−1a−2)A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ a & -2 \end{pmatrix}, siendo aa una constante real.
a
Estudia el rango de AA en función del parámetro aa.0,5 pts
b
Indica para que valores se puede calcular la inversa de AA.0,25 pts
c
Despeja XX de la ecuación matricial.0,75 pts
d
Calcula XX para a=2a = 2.1 pt
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Considera la función f(x)=−x2+4xf(x) = -x^2 + 4x.
a
Calcula la derivada de f(x)f(x).0,25 pts
b
Halla los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento de f(x)f(x).0,75 pts
c
Calcula una primitiva de f(x)f(x).0,5 pts
d
Calcula el área del recinto limitado por f(x)f(x), las rectas x=1x = 1, x=3x = 3 y el eje OXOX de abscisas.1 pt
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Considera los puntos A=(2,1,5)A = (2, 1, 5), B=(3,4,1)B = (3, 4, 1) y la recta r={x=3−λy=4−3λz=1−4λr = \begin{cases} x = 3 - \lambda \\ y = 4 - 3\lambda \\ z = 1 - 4\lambda \end{cases}
a
Calcula la ecuación de la recta, r′r', que pase por AA y BB.0,5 pts
b
Determina la posición relativa de las rectas rr y r′r'.1 pt
c
Calcula el área del triángulo de vértices AA, BB y el origen de coordenadas.1 pt
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
En una determinada población de adultos sanos, la concentración media de colesterol en sangre sigue una distribución normal con media 190 mg/dl190\,\text{mg/dl} y desviación típica 30 mg/dl30\,\text{mg/dl}. Un nivel elevado de colesterol puede indicar posibles problemas de salud.
Datos
  • F(x)=p(X≤x)=∫−∞x12πe−12t2dtF(x) = p(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}t^2} dt
Gráfica de la función de distribución de una normal estándar F(x) con el área sombreada desde menos infinito hasta x.
a
Calcula la probabilidad de que un adulto sano de la población tenga un nivel de colesterol superior a 250 mg/dl250\,\text{mg/dl}.1,25 pts
b
Calcula qué nivel de colesterol solo superan el 1%1\% de adultos sanos de dicha población.1,25 pts
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