Matemáticas CCSS · La Rioja 2021

En el último sorteo de la lotería primitiva Juan acertó 4 números. Su padre le preguntó qué números había acertado. Juan le planteó el siguiente acertijo para que adivinase tres de ellos: la suma de los tres números es 73; si al mayor de los tres números le quitas 3 unidades, obtienes la suma de los otros dos; el doble del menor de los tres números más el mayor de ellos es el triple del otro número más 8 unidades.

Representa gráficamente la función $$f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x^2 + 2x + 1}$$ de forma que se aprecien claramente su dominio, sus asíntotas verticales y horizontales, sus cortes con los ejes, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos.

Hace un siglo, en cierto país el porcentaje de hombres y mujeres entre la población adulta era en ambos casos del $50\,\%$. El porcentaje de fumadores entre los hombres era del $60\,\%$, mientras que únicamente fumaba la décima parte de las mujeres.

Sea $A$ una matriz inversible de orden 2.

Consideramos la función $f$ dada por $f(x) = x^3 - 3x$.

Los ingresos mensuales por ventas de un establecimiento siguen una distribución normal, con una desviación típica de $900\,€$. Con los datos de los últimos 9 meses han calculado, como intervalo de confianza para la media mensual de ingresos, el intervalo comprendido entre $4663$ y $5839\,€$.

Dibuja la región del plano formada por los puntos $(x, y)$ que cumplen $$\begin{cases} 0 \leq y, 0 \leq x \leq 2, \\ x + y \leq 3, \text{ y} \\ x + 3y \leq 6 \end{cases}$$ Averigua el valor máximo que alcanzan en dicha región las siguientes funciones, y en qué puntos lo alcanza cada una: $$f(x, y) = 7x + 5y \quad \text{y} \quad g(x, y) = x + 5y$$

Haz un dibujo de la gráfica de la función $f(x) = (x - 1)(x - 4)$, señalando si existen sus máximos y mínimos. Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica y la recta $y = 10$.

Un estudio de la OCDE de 2009 estableció que la estatura media de los adultos varones en España era de $174\,\text{cm}$, con una desviación típica de $8\,\text{cm}$. Asumiremos que la distribución era normal. ¿Cuál era la probabilidad de que un hombre adulto español midiera más de $190\,\text{cm}$? Responde utilizando la tabla de la distribución la normal estándar que se incluye al final. Entre los hombres holandeses, que eran los más altos según aquel estudio, la probabilidad de medir más de $190\,\text{cm}$ (suponiendo también una desviación típica de $8\,\text{cm}$ y una distribución normal) era $0{,}15866$. ¿Cuál era la estatura media de los hombres holandeses?