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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2021Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2021

9 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El examen está distribuido en tres bloques, cada uno con 3 ejercicios. En total se debe contestar a 4 ejercicios, de dos maneras posibles: o bien se eligen dos bloques y se contesta a 2 de cada uno de ellos, o bien se contesta a 2 de un bloque y a 1 de cada bloque restante. Para evitar confusiones, se recomienda consignar claramente en la primera página de las hojas de respuestas a qué cuatro ejercicios se responde en el examen. Todos los ejercicios valen 2.5 puntos, y en la mayoría de ellos dicha puntuación se desglosa con más detalle. Todas las respuestas deben ser debidamente justificadas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean ni programables ni gráficas, y que no calculen integrales. El tiempo disponible para resolver el examen es de una hora y media.

Ejercicio 1 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.

1Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
En el último sorteo de la lotería primitiva Juan acertó 4 números. Su padre le preguntó qué números había acertado. Juan le planteó el siguiente acertijo para que adivinase tres de ellos: la suma de los tres números es 73; si al mayor de los tres números le quitas 3 unidades, obtienes la suma de los otros dos; el doble del menor de los tres números más el mayor de ellos es el triple del otro número más 8 unidades.
a
¿Cuáles eran esos tres números?2 pts
b
¿Cuál es el cuarto número, si es la mitad de la suma de los dos mayores de los tres anteriores?0,5 pts
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Ejercicio 1 · Bloque 2. Análisis.

1Bloque 2. Análisis.
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Representa gráficamente la funciónf(x)=x2−2xx2+2x+1f(x) = \frac{x^2 - 2x}{x^2 + 2x + 1}de forma que se aprecien claramente su dominio, sus asíntotas verticales y horizontales, sus cortes con los ejes, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos.
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Ejercicio 1 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad.

1Bloque 3. Estadística y Probabilidad.
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Hace un siglo, en cierto país el porcentaje de hombres y mujeres entre la población adulta era en ambos casos del 50 %50\,\%. El porcentaje de fumadores entre los hombres era del 60 %60\,\%, mientras que únicamente fumaba la décima parte de las mujeres.
a
¿Cuál era el porcentaje de personas fumadoras entre la población adulta de ese país?1 pt
b
Entre las personas fumadoras, ¿cuál era el porcentaje de mujeres?1 pt
c
El abuelo Joaquín decía que una persona era “como Dios manda” si o bien era hombre y fumaba o bien era mujer y no fumaba. ¿Qué porcentaje de personas adultas era como Dios manda, según el abuelo Joaquín?0,5 pts
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Ejercicio 2 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.

2Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Sea AA una matriz inversible de orden 2.
a
Halla las matrices XX e YY que cumplen que{AX+Y=IAX−Y=0\begin{cases} AX + Y = I \\ AX - Y = 0 \end{cases}donde II es la matriz identidad (1001)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y 00 es la matriz nula.0,75 pts
b
Encuentra XX e YY para A=(0111)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}.1,75 pts
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Ejercicio 2 · Bloque 2. Análisis.

2Bloque 2. Análisis.
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Consideramos la función ff dada por f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x.
a
Halla sus extremos relativos.1,25 pts
b
¿Cuánto vale f′(1)f'(1)? ¿Cuál es la recta tangente a la curva y=f(x)y = f(x) en el punto (1,f(1))(1, f(1))?0,75 pts
c
¿En qué otro punto (t,f(t))(t, f(t)) corta dicha recta a la gráfica de ff? Nota: si no has sabido responder al apartado (b), en (c) debes resolver la ecuación f(x)=f(1)f(x) = f(1).0,5 pts
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Ejercicio 2 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad.

2Bloque 3. Estadística y Probabilidad.
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Los ingresos mensuales por ventas de un establecimiento siguen una distribución normal, con una desviación típica de 900 €900\,€. Con los datos de los últimos 9 meses han calculado, como intervalo de confianza para la media mensual de ingresos, el intervalo comprendido entre 46634663 y 5839 €5839\,€.
a
¿Cuál fue el promedio de los ingresos en esos nueve meses?0,5 pts
b
¿Con qué nivel de confianza se ha obtenido el intervalo?1,5 pts
c
Si con el mismo nivel de confianza el intervalo hubiera sido el comprendido entre 49574957 y 55455545, ¿cuántos meses habrían formado la muestra?0,5 pts
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Ejercicio 3 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.

3Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Dibuja la región del plano formada por los puntos (x,y)(x, y) que cumplen{0≤y,0≤x≤2,x+y≤3, yx+3y≤6\begin{cases} 0 \leq y, 0 \leq x \leq 2, \\ x + y \leq 3, \text{ y} \\ x + 3y \leq 6 \end{cases}Averigua el valor máximo que alcanzan en dicha región las siguientes funciones, y en qué puntos lo alcanza cada una:f(x,y)=7x+5yyg(x,y)=x+5yf(x, y) = 7x + 5y \quad \text{y} \quad g(x, y) = x + 5y
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Ejercicio 3 · Bloque 2. Análisis.

3Bloque 2. Análisis.
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Haz un dibujo de la gráfica de la función f(x)=(x−1)(x−4)f(x) = (x - 1)(x - 4), señalando si existen sus máximos y mínimos. Calcula el área de la región del plano limitada por la gráfica y la recta y=10y = 10.
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Ejercicio 3 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad.

3Bloque 3. Estadística y Probabilidad.
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Un estudio de la OCDE de 2009 estableció que la estatura media de los adultos varones en España era de 174 cm174\,\text{cm}, con una desviación típica de 8 cm8\,\text{cm}. Asumiremos que la distribución era normal. ¿Cuál era la probabilidad de que un hombre adulto español midiera más de 190 cm190\,\text{cm}? Responde utilizando la tabla de la distribución la normal estándar que se incluye al final. Entre los hombres holandeses, que eran los más altos según aquel estudio, la probabilidad de medir más de 190 cm190\,\text{cm} (suponiendo también una desviación típica de 8 cm8\,\text{cm} y una distribución normal) era 0,158660{,}15866. ¿Cuál era la estatura media de los hombres holandeses?
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