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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2020Ordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2020

9 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El examen está distribuido en tres bloques que contienen tres ejercicios cada uno de ellos. De cada uno de los bloques, el alumno podrá contestar como máximo a dos ejercicios. En total deberá contestar a 4 ejercicios. Es decir, podrá contestar a dos ejercicios de un bloque y uno de cada uno de los otros dos, o bien elegir dos bloques y contestar a dos ejercicios de cada uno. Es necesario justificar las respuestas. Se perrmite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calulen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra. Tiempo: Una hora y media.

Ejercicio 1 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.

1Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Consideramos el sistema de ecuaciones lineales donde aa es un número real{ay+az=0y+z=04x−2y+az=a\begin{cases} ay + az = 0 \\ y + z = 0 \\ 4x - 2y + az = a \end{cases}
a
¿Existe algún valor de aa para el que el sistema es compatible y determinado?0,75 pts
b
¿Existe algún valor de aa para el que el sistema no tenga soluciones?0,5 pts
c
Resuelve el sistema si a=0a = 0.1,25 pts
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Ejercicio 1 · Bloque 2. Análisis.

1Bloque 2. Análisis.
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Consideramos la función f(x)=x4−ax2+bf(x) = x^4 - ax^2 + b
Datos
  • Si no has conseguido determinar aa y bb en el apartado anterior, toma a=2a = 2 y b=1b = 1 en los apartados (b) e (c)
a
¿Qué valores deben tomar aa y bb para que la función tenga un mínimo en el punto (1,0)(1, 0)?1 pt
b
Con los valores de aa y bb del apartado (a), calcula los puntos donde f(x)f(x) tiene tangente paralela a la recta y=1y = 1.1 pt
c
Calcula la recta tangente a la función en el punto x=1x = 1.0,5 pts
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Ejercicio 1 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad.

1Bloque 3. Estadística y Probabilidad.
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
El número de usuarios diarios del transporte metropolitano sigue una distribución normal con desviación típica 108108.
a
Si la media de usuarios diarios fuese 17001700, ¿cuál sería la probabilidad de que la media de usuarios de 3636 días fuese más de 16781678?1,25 pts
b
En los 100100 primeros días del año, la media diaria de usuarios ha sido 17501750, determina un intervalo de confianza del 95 %95\,\% para la media de viajeros.1,25 pts
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Ejercicio 2 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.

2Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Dada una matriz cuadrada AA
a
¿Puede saberse si tiene inversa sin calcularla explícitamente? ¿Cómo?0,5 pts
b
Sea ahora AA la matrizA=(1213)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}Halla, si existe, la inversa de AA.0,75 pts
c
Si AA es la matriz del apartado anterior, determina las matrices XX e YY de orden 2 tales que:3X+2Y=A3X + 2Y = AX+Y=2AX + Y = 2A1,25 pts
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Ejercicio 2 · Bloque 2. Análisis.

2Bloque 2. Análisis.
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
Sea la funciónf(x)={0,x<0x2,0≤x<1ax−2,1≤xf(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x^2, & 0 \leq x < 1 \\ ax - 2, & 1 \leq x \end{cases}
Datos
  • Si no has conseguido determinar aa, toma a=3a = 3 en los apartados (b) e (c)
a
¿Para qué valor de aa la función es continua?0,75 pts
b
Utilizando el valor de aa del apartado (a), esboza una gráfica de la función ff.0,75 pts
c
Con el valor de aa del apartado (a), calcula el área encerrada por la gráfica de la función ff, el eje OXOX y la recta x=3x = 3.1 pt
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Ejercicio 2 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad.

2Bloque 3. Estadística y Probabilidad.
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
En una clase hay 2424 estudiantes, 1212 de ellos han aprobado inglés, 1616 han aprobado matemáticas y 44 han suspendido las dos asignaturas.
a
¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un alumno de esa clase resulte que haya aprobado matemáticas y haya suspendido inglés?0,75 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un alumno de esa clase resulte que haya aprobado las dos asignaturas?0,75 pts
c
¿Son independientes los sucesos aprobar matemáticas y aprobar inglés?1 pt
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Ejercicio 3 · Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.

3Bloque 1. Álgebra y Programación Lineal.
2,5 puntos
Bloque 1Álgebra y programación lineal
Los beneficios de una empresa vienen dados por la función f(x,y)=x+y+1f(x, y) = x + y + 1 pero está sujeta a las siguientes restricciones:4x+y≥84x + y \geq 83x−2y≤123x - 2y \leq 12x+5y≤21x + 5y \leq 21x≥0x \geq 0y≥0y \geq 0
a
Dibuja en el plano la región factible que representa estas restricciones.1,25 pts
b
¿Para qué valores de xx e yy obtiene la empresa el beneficio máximo?1,25 pts
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Ejercicio 3 · Bloque 2. Análisis.

3Bloque 2. Análisis.
2,5 puntos
Bloque 2Análisis
La parte positiva de la función f(t)=−2t2+16tf(t) = -2t^2 + 16t indica la gravedad de un enfermo desde que contrae una determinada enfermedad hasta que vuelve a estar sano.
a
Haz un esbozo de la gráfica de la función.0,5 pts
b
Si la variable tt se mide en días, ¿cuántos días dura la enfermedad?1 pt
c
¿En qué día del proceso está más grave el enfermo?1 pt
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Ejercicio 3 · Bloque 3. Estadística y Probabilidad.

3Bloque 3. Estadística y Probabilidad.
2,5 puntos
Bloque 3Estadística y probabilidad
Un hospital está especializado en el tratamiento de 33 enfermedades AA, BB, CC. El 40 %40\,\% de los pacientes ingresan con la enfermedad AA, el 35 %35\,\% con la enfermedad BB y el 25 %25\,\% con la enfermedad CC. La probabilidad de curación de la enfermedad AA es el 80 %80\,\%, de la BB el 60 %60\,\% y de la CC el 90 %90\,\%.
a
José ingresa en el hospital (no sabemos cuál de las tres enfermedades padece). ¿Cuál es la probabilidad de que se cure?1 pt
b
Miguel ingresó en el hospital y se ha restablecido completamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ingresara padeciendo la enfermedad BB?1 pt
c
Rosa ingresó en el hospital y se ha restablecido completamente. ¿Cuál es la probabilidad de que NO padeciera la enfermedad BB?0,5 pts
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