Matemáticas CCSS · Galicia 2005

Un fabricante produce tres artículos diferentes $(A, B \text{ y } C)$, cada uno de los cuales precisa para su elaboración de tres materias primas $(M_1, M_2 \text{ y } M_3)$. En la siguiente tabla se representa el número de unidades de cada materia prima que se requiere para elaborar una unidad de cada producto: Dispone de 50 unidades de $M_1$, 70 unidades de $M_2$ y 40 unidades de $M_3$.

El número de vehículos que pasaron cierto día por el peaje de una autopista viene representado por la función $$N(t) = \begin{cases} \left(\frac{t - 3}{3}\right)^2 + 2, & 0 \leq t \leq 9 \\ 10 - \left(\frac{t - 15}{3}\right)^2, & 9 < t \leq 24 \end{cases}$$ donde $N$ indica el número de vehículos y $t$ representa el tiempo transcurrido (en horas) desde las 0:00 horas.

La plantilla de unos grandes almacenes está formada por 20 hombres y 30 mujeres. La cuarta parte de los hombres y la tercera parte de las mujeres solo trabajan en el turno de la mañana. Elegido uno de los empleados al azar:

Una empresa fabrica juguetes de tres tipos diferentes. Los precios de coste de cada juguete y los ingresos que obtiene la empresa por cada juguete vendido vienen dados en la siguiente tabla: El número de ventas anuales es de 4500 juguetes $T_1$, 3500 juguetes $T_2$ y 1500 juguetes $T_3$. Sabiendo que la matriz de costes y la matriz de ingresos son matrices diagonales y que la matriz de ventas anuales es una matriz fila:

Se quiere cercar un campo rectangular que linda con un camino. Si la cerca del lado del camino cuesta 6 €/m y la de los otros tres lados 2 €/m, halla las dimensiones del campo de área máxima que puede cercarse con 2560 €.

Una encuesta revela que el $40\%$ de los jóvenes de cierta ciudad tiene estudios, de los cuales un $15\%$ no tiene trabajo. De los que no tienen estudios, un $25\%$ no tiene trabajo.

Una empresa fabrica dos tipos de televisores $(T_{21} \text{ y } T_{14})$ de 21 y 14 pulgadas, a un coste por televisor de 100 y 50 euros, respectivamente. Se sabe que el número de televisores $T_{21}$ fabricados diariamente no supera en 4 unidades a los $T_{14}$, y que entre ambos no se superan diariamente los 30 televisores. También se sabe que el proceso productivo no permite fabricar diariamente menos de 2 televisores $T_{21}$ ni menos de 5 televisores $T_{14}$.

Se quiere fabricar una caja de madera sin tapa con una capacidad de $2\,\text{m}^3$. Por razones de transporte de la misma, la longitud de la caja tiene que ser el doble que la anchura. Además, la madera para construir la base de la caja cuesta 24 euros por metro cuadrado, mientras que la madera para construir las caras laterales cuesta 12 euros por metro cuadrado. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo. Calcular dicho coste mínimo.

El peso de los alumnos de bachillerato de una cierta ciudad tiene una media desconocida y una desviación típica $\sigma = 5{,}4\,\text{kg}$. Tomamos una muestra aleatoria de 100 alumnos de bachillerato de esa ciudad.

Un centro comercial vende dos modelos de teléfono móvil, el $X$ y el $Y$. Sus empleados utilizan 3 horas de tiempo de ventas por cada teléfono del modelo $X$ vendido y 5 horas de tiempo de ventas por cada teléfono $Y$ vendido, disponiendo de un máximo de 600 horas de venta para el siguiente período de un mes. Además, en ese mes, deben vender como mínimo 25 teléfonos del modelo $X$, y el número de teléfonos que vendan del modelo $Y$ tendrá que ser mayor o igual que el de teléfonos $X$. La empresa obtiene un beneficio de 40 € por cada modelo $X$ vendido y de 50 € por cada modelo $Y$ vendido.

La función $f(t)$, en la que el tiempo está expresado en años, representa los beneficios de una empresa (en cientos de miles de euros) entre los años 1990 ($t = 0$) y 2000 ($t = 10$): $$f(t) = \begin{cases} t + 1 & \text{si } 0 \leq t < 2 \\ t^2 - 8t + 15 & \text{si } 2 \leq t < 6 \\ \frac{3}{4}(-t + 10) & \text{si } 6 \leq t \leq 10 \end{cases}$$

Una fábrica desea conocer el tiempo que tarda en descomponerse un producto que tiene almacenado. Se toma una muestra de 100 unidades, resultando un tiempo medio de descomposición de 10 horas. Por experiencias anteriores se conoce que la desviación típica de la variable normal tiempo de descomposición es de 5 horas.