Matemáticas II · Madrid 2014

Calcula $\alpha, \beta, \gamma$ para que $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ sea solución del sistema $AX = B$.

Si $\beta = \gamma = 1$ ¿Qué condición o condiciones debe cumplir $\alpha$ para que el sistema lineal homogéneo $AX = O$ sea compatible determinado?

Si $\alpha = -1, \beta = 1$ y $\gamma = 0$, resuelve el sistema $AX = B$.

Calcular $\lim_{x \to \infty} f(x)$ y $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

Calcular el valor de $a$ para que $f(x)$ sea continua en todo $\mathbb{R}$.

Estudiar la derivabilidad de $f$ y calcular $f'$, donde sea posible.

Calcular el punto $P'$ simétrico a $P$ respecto de $\pi$.

Hallar la distancia de $P$ a $r$.

Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$ y las intersecciones de $\pi$ con los ejes coordenados $OX, OY$ y $OZ$.

Estudiar la posición relativa de $r$ y $\pi$.

Determinar el plano que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$.

Determinar la recta que pasa por $A(-2, 1, 0)$, corta a $r$, y es paralela a $\pi$.

Sea $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ una función dos veces derivable. Sabiendo que el punto de abscisa $x = -2$ es un punto de inflexión de la gráfica de $f(x)$ y que la recta de ecuación $y = 16x + 16$ es tangente a la gráfica de $f(x)$ en dicho punto, determinar: $$f(-2), \quad f'(-2) \quad \text{y} \quad f''(-2).$$

Determinar el área de la región acotada limitada por la gráfica de la función $g(x) = x^4 + 4x^3$ y el eje $OX$.

Hallar el valor o valores de $a$ para que la matriz $A$ tenga inversa.

Calcular la matriz inversa $A^{-1}$ de $A$, en el caso $a = 2$.

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - 2x - e^x + \operatorname{sen}(3x)}{x^2}$.

$\lim_{x \to \infty} \frac{(5x^2 + 2)(x - 6)}{(x^2 - 1)(2x - 1)}$.

Expresar, en función del precio de un bolígrafo, lo que costaría un cuaderno y lo que costaría un rotulador.

Calcular lo que deberíamos pagar si adquirimos ocho cuadernos y tres rotuladores.