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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2014Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2014

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Calificación: Las preguntas 1a1^a y 2a2^a se valorarán sobre 3 puntos; las preguntas 3a3^a y 4a4^a sobre 2 puntos. Tiempo: 90 minutos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada las matrices:A=(αβγγ0α1βγ),X=(xyz),B=(101),O=(000), A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \gamma & 0 & \alpha \\ 1 & \beta & \gamma \end{pmatrix}, \qquad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, se pide:
a
Calcula α,β,γ\alpha, \beta, \gamma para que (123)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} sea solución del sistema AX=BAX = B.1,5 pts
b
Si β=γ=1\beta = \gamma = 1 ¿Qué condición o condiciones debe cumplir α\alpha para que el sistema lineal homogéneo AX=OAX = O sea compatible determinado?1 pt
c
Si α=−1,β=1\alpha = -1, \beta = 1 y γ=0\gamma = 0, resuelve el sistema AX=BAX = B.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dados el punto P(1,0,1)P(1, 0, 1), el plano π≡x+5y−6z=1\pi \equiv x + 5y - 6z = 1, y la recta r≡{x=0z=0r \equiv \begin{cases} x = 0 \\ z = 0 \end{cases} se pide:
a
Calcular el punto P′P' simétrico a PP respecto de π\pi.1 pt
b
Hallar la distancia de PP a rr.1 pt
c
Calcular el volumen del tetraedro formado por el origen de coordenadas O(0,0,0)O(0, 0, 0) y las intersecciones de π\pi con los ejes coordenados OX,OYOX, OY y OZOZ.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Sea f:R⟶Rf: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} una función dos veces derivable. Sabiendo que el punto de abscisa x=−2x = -2 es un punto de inflexión de la gráfica de f(x)f(x) y que la recta de ecuación y=16x+16y = 16x + 16 es tangente a la gráfica de f(x)f(x) en dicho punto, determinar:f(−2),f′(−2)yf′′(−2). f(-2), \quad f'(-2) \quad \text{y} \quad f''(-2). 1 pt
b
Determinar el área de la región acotada limitada por la gráfica de la función g(x)=x4+4x3g(x) = x^4 + 4x^3 y el eje OXOX.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcular justificadamente:
a
lim⁡x→01−2x−ex+sen⁡(3x)x2\lim_{x \to 0} \frac{1 - 2x - e^x + \operatorname{sen}(3x)}{x^2}.1 pt
b
lim⁡x→∞(5x2+2)(x−6)(x2−1)(2x−1)\lim_{x \to \infty} \frac{(5x^2 + 2)(x - 6)}{(x^2 - 1)(2x - 1)}.1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Dada la funciónf(x)={a+ln⁡(1−x),si x<0,x2e−x,si x≥0, f(x) = \begin{cases} a + \ln(1 - x), & \text{si } x < 0, \\ x^2 e^{-x}, & \text{si } x \geq 0, \end{cases} (donde ln⁡\ln denota logaritmo neperiano) se pide:
a
Calcular lim⁡x→∞f(x)\lim_{x \to \infty} f(x) y lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x \to -\infty} f(x).1 pt
b
Calcular el valor de aa para que f(x)f(x) sea continua en todo R\mathbb{R}.1 pt
c
Estudiar la derivabilidad de ff y calcular f′f', donde sea posible.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dados el plano π≡2x−y=2\pi \equiv 2x - y = 2, y la recta r≡{x=1y−2z=2r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y - 2z = 2 \end{cases} se pide:
a
Estudiar la posición relativa de rr y π\pi.1 pt
b
Determinar el plano que contiene a rr y es perpendicular a π\pi.1 pt
c
Determinar la recta que pasa por A(−2,1,0)A(-2, 1, 0), corta a rr, y es paralela a π\pi.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la matriz:A=(−1−1a−32a0a−1), A = \begin{pmatrix} -1 & -1 & a \\ -3 & 2 & a \\ 0 & a & -1 \end{pmatrix}, se pide:
a
Hallar el valor o valores de aa para que la matriz AA tenga inversa.1 pt
b
Calcular la matriz inversa A−1A^{-1} de AA, en el caso a=2a = 2.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Por la compra de cinco cuadernos, dos rotuladores y tres bolígrafos se han pagado veintidós euros. Si se compran dos cuadernos, un rotulador y seis bolígrafos, el coste es de catorce euros. Se pide:
a
Expresar, en función del precio de un bolígrafo, lo que costaría un cuaderno y lo que costaría un rotulador.1 pt
b
Calcular lo que deberíamos pagar si adquirimos ocho cuadernos y tres rotuladores.1 pt
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