Practica por temas

Calcular los valores del parámetro $k$ para los cuales la matriz $A$ tiene inversa. $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & -1 \\ -2 & 3 & k \end{pmatrix}$$

Analizar el rango de $A$ según los valores del parámetro $k$.

Tomando como referencia exclusivamente los resultados obtenidos en el apartado B, ¿se puede determinar algún valor de $k$ para el cual el sistema $$\begin{cases} x + 2y = 3 \\ 3x + 4y = -1 \\ -2x + 3y = k \end{cases}$$ tiene solución? En caso afirmativo, indica si la solución es única o no, y resuelve el sistema.

El reto consiste en adivinar cuántos puntos en total (negros y blancos) habrá en la figura número 17 y, además, decir cuántos de ellos serán puntos negros y cuántos blancos. Para quienes han superado este reto, se plantea uno más complicado: ¿eres capaz de encontrar una fórmula que relacione el número de figura con el número de puntos negros para una figura cualquiera? Explica cómo has llegado a ella, indicando qué representa cada símbolo que uses (por ejemplo: $n$ es el número de figura).

Dos clientes de la caseta, tras observar detenidamente el reto, tienen opiniones encontradas: una dice que no es posible que haya una figura que tenga un número par de puntos negros y otro dice que sí lo es. ¿A quién le das la razón? ¿Qué argumentos puedes utilizar para convencerlos?

Plantea un test para contrastar la hipótesis de que el curso de formación no ha dado los resultados esperados, frente a la alternativa de que sí ha conseguido reducir el tiempo medio de ensamblado.

¿A qué conclusión se llega en el contraste anterior para un nivel de significación del $5\%$?

¿Cómo se distribuyen las medias de las muestras de tamaño 81 extraídas de esta población?

¿Cuál es la probabilidad de que una de estas medias sea mayor que 88?

¿Y que sea mayor que 91 cm?

Derive las siguientes funciones: $$f(x) = \frac{\sqrt{3x^3} - \sqrt[3]{2x}}{\sqrt{x^3}}, \quad \quad \quad g(x) = \ln \frac{3x^2}{x - 5}, \quad \quad \quad h(x) = e^{5x} + \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}$$

Dada la función $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x \leq 2 \\ \frac{x + 3}{x^2 - 3} & \text{si } x > 2 \end{cases}$ Estudie la continuidad de $f$ en $x = 2$. Analice el crecimiento de la función $f(x)$ si $x > 2$. ¿Tiene $f$ algún máximo o mínimo relativo si $x > 2$?