Practica por temas

Una empresa que fabrica bombillas debe satisfacer un pedido de 450 unidades que empaqueta en cajas de tamaños distintos. Hay dos modelos de cajas, A y B, en los que caben respectivamente 15 y 20 unidades. Se dispone de un total de $k$ cajas. Además, el número de cajas del modelo A coincide con las dos terceras partes del total de cajas del modelo B. El sistema de ecuaciones lineales que permite calcular el número de cajas de cada modelo a utilizar para enviar el pedido, es el siguiente: $$\begin{cases} 15x + 20y = 450 \\ x + y = k \\ 3x - 2y = 0 \end{cases}$$ Determinar, según el número total de cajas disponibles, (según los valores del parámetro $k$), los casos en los que el sistema tiene o no tiene solución, y si esta es única o no. Resolver el sistema cuando tenga solución.

Sean A y B dos matrices cuadradas de dimensión 3. Sus determinantes tienen como valor 3 y 10 respectivamente. Con estos datos, calcular:

Calcular $(AB)^2$.

Encontrar, si existe, una matriz $X$ tal que $2A + 3X = 4C$.

Calcular, si existe, la matriz inversa de $D$.

Determinar para qué valores de $a$ la matriz $$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & 5-a & -2 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$$ no tiene inversa.

Considerando la matriz $A$ del apartado anterior con $a = -1$, resolver la ecuación matricial $XA + B = CA$ donde $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Discuta el sistema en función de los valores del parámetro $a$.

Resuelva el sistema de ecuaciones para $a = 0$.

En un instituto hay 335 estudiantes de Bachillerato, 195 de los cuales están en primer curso y 140 están en segundo curso. Se eligen al azar dos estudiantes distintos de entre estos 335. ¿Cuál es la probabilidad de que estén en el mismo curso?

En una encuesta sobre hábitos alimentarios en una ciudad se ha tomado una muestra de 300 individuos y se les ha preguntado si son vegetarianos. De los 300 individuos, 72 son vegetarianos y los 228 restantes no lo son. Calcular el intervalo de confianza al 94% para la proporción de personas de la ciudad que son vegetarianas.