Practica por temas

La función derivada de una función $f$ es $f'(x) = e^{-x} \cdot (x - x^2)$.

Se sabe que la expresión que representa el número de personas $N(t)$ que acude un día a un centro médico, en función del número de horas $t$ que lleva abierto, es $N(t) = at^2 + bt$, $0 \leq t \leq 8$, $a, b \in \mathbb{R}$. Sabiendo que el número máximo de personas que ha habido ese día ha sido de 128, y que se ha producido a las 4 horas de abrir, calcule $a$ y $b$.

Una tienda de informática vende, entre otros productos, ordenadores portátiles e impresoras, pudiendo almacenar un máximo de 150 unidades en total. Para atender la demanda de sus clientes debe tener en stock al menos 20 portátiles y al menos 50 impresoras. Además, para lograr un precio competitivo, el proveedor le exige que el número de impresoras que compre tiene que ser igual o superior en 20 unidades al número de portátiles.

Sea $S$ la región del plano definida por $$2x - y \geq 1; \quad 2x - 3y \leq 6; \quad x + 2y \geq 3; \quad x + y \leq 8; \quad y \leq 3.$$

La función $f(x) = x^3 + px^2 + q$ tiene un valor mínimo relativo igual a 7 en el punto de abscisa $x=3$.