Practica por temas

Se quiere fabricar una caja de madera sin tapa con una capacidad de $2\,\text{m}^3$. Por razones de transporte de la misma, la longitud de la caja tiene que ser el doble que la anchura. Además, la madera para construir la base de la caja cuesta 24 euros por metro cuadrado, mientras que la madera para construir las caras laterales cuesta 12 euros por metro cuadrado. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo. Calcular dicho coste mínimo.

Dada la función $f(x) = \frac{x}{1 + x^2} + 21$:

Se han corregido unas cuantas pruebas de selectividad y se han puntuado con notas entre $0$ y $10$. El número de personas que han obtenido una determinada calificación $x$ viene definido por la función $N(x) = 250 - (2x - 9)^2$.

Para fabricar dos tipos de cables, A y B, que se venderán a $150$ € y $100$ € el hectómetro, respectivamente, se utilizan $18$ kg de plástico y $3$ kg de cobre para cada hectómetro del tipo A y $6$ kg de plástico y $12$ kg de cobre para cada hectómetro del tipo B. Dos veces el cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que tres veces el cable fabricado del tipo A. Además, solamente tenemos $348$ kg de plástico y $168$ kg de cobre. Determinad la longitud, en hectómetros, de cada tipo de cable para que la cantidad de dinero obtenida en la venta sea máxima. ¿Cuál es esta cantidad máxima? Se debe plantear el problema como un problema de programación lineal, dibujando la región factible de soluciones y determinando y dibujando sus vértices.

Los beneficios de una compañía de transporte de viajeros vienen dados por la función $B(x) = ax^2 + bx + c$, donde $x$ es el precio que la compañía cobra por cada viaje. Sabemos que si cobran $40$ € por viaje, los beneficios son $19.000$ €. Además, si aumentamos el precio un $25\%$, el beneficio que se obtiene es el máximo, $20.000$ €. Teniendo en cuenta estos datos, determine los valores de $a$, $b$ y $c$.