Practica por temas

Sabiendo que la gráfica de la función $f(x) = ax^2 + bx + c$, para $0 \leq x \leq 60$ pasa por el punto $(0, 20)$ y que alcanza un máximo de $36$ en el punto de abscisa $x = 40$, se pide:

Dada la función, definida para $x \in \mathbb{R}$, $$f(x) = \begin{cases} ax + 1 & \text{si } x < -2 \\ \frac{x + b}{x^2 + 1} & \text{si } -2 \leq x < 0 \\ x^3 - 9x^2 + 24x + 4 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

La probabilidad de que cuando un autobús llegue a un determinado semáforo lo encuentre en rojo es $0{,}2$. Si pasa tres veces a lo largo de un día por el semáforo, calcular la probabilidad de que:

Sea la función $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$.

Un rectángulo, de perímetro 60, gira en torno a uno de sus lados. Calcular qué dimensiones del rectángulo hacen que el cilindro generado tenga el máximo volumen posible.