Practica por temas

En una cierta entidad bancaria, el $40\%$ de los créditos concedidos son para vivienda, el $50\%$ se destinan a empresas, y el $10\%$ son para consumo. Se sabe además que de los créditos concedidos a vivienda, el $15\%$ resultan impagados; de los créditos concedidos a empresas son impagados el $20\%$; y de los créditos concedidos al consumo resultan impagados el $15\%$.

Sea la función $f(x) = \begin{cases} -x^2 - 2ax + 3 & \text{si } x \leq 1 \\ ax^2 - 6x + 5 & \text{si } x > 1 \end{cases}.$

La función siguiente describe la evolución a lo largo del tiempo $t$ (en meses) del precio $P(t)$ (en miles de euros) de cierto aparato electrónico, desde que se puso a la venta ($t=0$): $$P(t) := \frac{t + 2}{t + 1}, \qquad t \geq 0.$$

En una pastelería se elaboran pasteles de tipo A y B. Cada pastel de tipo A necesita 6 gramos de azúcar y 3 gramos de levadura, con un beneficio de $4{,}5$ euros. Cada pastel de tipo B se elabora con 4 gramos de azúcar y 4 de levadura, con un beneficio de $5{,}5$ euros. Sabiendo que solo dispone de 240 gramos de azúcar y 180 gramos de levadura, calcular, justificando la respuesta, el número de pasteles de cada tipo que debe fabricar para obtener unos beneficios máximos así como el valor de dichos beneficios máximos.

Una determinada enfermedad afecta actualmente al $5\%$ de la población. El único test disponible para detectar la enfermedad tiene una probabilidad del $99\%$ de clasificar correctamente a los enfermos (probabilidad de que el test dé positivo si la persona tiene la enfermedad), mientras que la probabilidad de que el test dé negativo si la persona no está enferma es del $95\%$. Se pide: