Practica por temas

De entre todos los triángulos rectángulos contenidos en el primer cuadrante que tienen un vértice en el origen, otro sobre la parábola $y = 4 - x^2$, un cateto sobre el eje $X$ y el otro paralelo al eje $Y$, obtén los catetos y la hipotenusa de aquel cuya área es máxima.

Enuncia los teoremas de Bolzano y de Rolle.

Estudiar sus intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Estudiar sus máximos y mínimos y trazar un bosquejo de su gráfica.

Halle los puntos de la curva en que la recta tangente es paralela a la recta $2x + 3y - 4 = 0$.

Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva en $x = 1$.

Considere la función: $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 2 \\ 2x + a & \text{si } 2 \leq x \leq 4 \\ -x^2 + 3x + b & \text{si } x > 4 \end{cases}$$ Determine los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua.

Supongamos ahora que $a = 0$. Usando la definición de derivada, estudie la derivabilidad de $f(x)$ en $x = 2$.