Practica por temas

Enuncie el Teorema de Bolzano.

Averigüe si la función $f(x) = x + \sen x - 2$ se anula en algún punto del intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Comprobar que hay alguna solución positiva y alguna negativa de la ecuación $$x \cdot \cos(2x) = x^2 - 1$$

Aproximar la solución positiva encontrada con un error menor que una décima.

Sea el tetraedro cuyos vértices son los puntos $A = (a, 0, 1)$, $B = (1, 3, 0)$, $C = (0, 1, 0)$ y $D = (1, 1, 1)$, con $a \in \mathbb{R}$. Halla los valores de $a$ para que el volumen de dicho tetraedro sea $1$.

Enuncia el teorema de Bolzano. Utiliza este teorema para razonar que la función $$f(x) = (2e^x - 8x - 3) / (x^2 + 2)$$ corta al eje de abscisas al menos una vez.

Determine el volumen del paralelepípedo determinado por los siguientes vectores: $\vec{u} = (1,1,1)$, $\vec{v} = (2,1,0)$ y $\vec{w}$, siendo $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$, y donde el símbolo $\times$ representa el producto vectorial.

Determine la ecuación del plano que pasa por el punto $P: (1, 3, 2)$ y es perpendicular a la recta: $$r \colon \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 2y + 3z = 3 \end{cases}$$