Practica por temas

Determinar en función del parámetro real $a$, la posición relativa de los siguientes planos: $$\begin{cases} (a - 1)x + y - z = a \\ (a + 1)x + (2a + 1)y + z = -a \\ ax + ay + z = -a \end{cases}$$

Sean las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = a$, con $a \in \mathbb{R}, a > 0$. Calcula el valor del parámetro $a$ para que el área encerrada entre las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$ sea $\frac{32}{3}$.

Halla el simétrico del punto $P \equiv (2, 5, 2)$ respecto de la recta $$r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} = \frac{z + 1}{2}$$

Dados el punto $A = (1, 0, -1)$ y la recta $r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{2}$:

Se dan las rectas $r: x - 1 = y - 2 = \dfrac{z-1}{2}$ y $s: \dfrac{x-3}{-2} = \dfrac{y-3}{-1} = \dfrac{z+1}{2}$. Se pide: a) Comprobar que se cortan y calcular las coordenadas del punto $P$ de intersección. (5 puntos) b) Determinar la ecuación de la recta que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$ y a $s$. (5 puntos)