Practica por temas

Considera la función continua $f$ definida por $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \text{si} & x < -1 \\ ax + b & \text{si} & -1 \leq x < 1 \\ \frac{x^2}{x + 1} & \text{si} & x \geq 1 \end{cases}$

La clase de Elia ha diseñado el logotipo siguiente para pintarlo en la pared del instituto: La curva que pasa por el punto $A$ es $y = f(x)$, con $f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x$, y la que pasa por los puntos $B$, $C = (3, 3)$ y $D$ es $y = g(x)$, con $g(x) = -\left(\frac{x-1}{2}\right)^2 + 4$.

Calcule todos los vectores de módulo 2 que son ortogonales a los vectores $\vec{u} = (1, -1, -1)$ y $\vec{v} = (-1, 2, 1)$.

Sean las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = a$, con $a \in \mathbb{R}, a > 0$. Calcula el valor del parámetro $a$ para que el área encerrada entre las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$ sea $\frac{32}{3}$.

Calcula los siguientes límites: