Practica por temas

Dados los vectores $\vec{u} = (a, b, 1)$, $\vec{v} = (-3, 4, 1)$ y $\vec{w} = (1, 2, c)$, determina el valor de los parámetros $a, b, c \in \mathbb{R}$ de manera que los vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean perpendiculares y además $\vec{u} \times \vec{w} = \vec{v}$, donde $\vec{u} \times \vec{w}$ denota el producto vectorial.

Sea $r$ la recta que pasa por el punto $P = (1, -1, 1)$ y tiene como vector director $\vec{v}_r = (1, 2, -2)$. ¿Existe algún valor de $k$ para el cuál la recta $r$ está contenida en el plano $\pi \equiv 2x + 3y + 4z = k$? En caso afirmativo, calcula el valor de $k$.

Calcular el angulo que forman $r$ y $\pi$.

Hallar el simetrico del punto de interseccion de la recta $r$ y el plano $\pi$ con respecto al plano $z - y = 0$.

Determinar la proyeccion ortogonal de la recta $r$ sobre el plano $\pi$.

Estudie la posición relativa de $\pi_1$ y $\pi_2$.

Encuentre, si es posible, las ecuaciones implícitas de una recta paralela a $\pi_1$ y a $\pi_2$.