Practica por temas

Para adornar un mural queremos construir un marco de madera rectangular que encierre una superficie de cinco metros cuadrados. Sabemos que el coste de cada centímetro del marco en los lados horizontales es de $1{,}5$ €, mientras que en los lados verticales es de $2{,}7$ €. Determinar las dimensiones que hemos de elegir para que el marco nos resulte lo más barato posible.

Sean las funciones $f(x) = 2x^4 + ax^2 + b$ y $g(x) = -2x^3 + c$.

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^2 + b} - 2 & \text{si } x \leq -\sqrt{2} \\ 2 - x^2 & \text{si } -\sqrt{2} < x < \sqrt{2} \\ x^2 \ln(x^2 - a) & \text{si } \sqrt{2} \leq x \end{cases}$$ donde $\ln$ denota el logaritmo neperiano. Determinar si existen valores de los parámetros $a$ y $b$ para los que $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$. Justificar la respuesta.

Dada la parábola $y = \frac{1}{3}x^2$ y la recta $y = 9$, hallar las dimensiones y el área del rectángulo de área máxima que tiene un lado en la recta y los otros dos vértices en la gráfica de la parábola.

Dada la recta $r: (x, y, z) = (1, 1, 0) + \lambda(-1, -1, 2)$ y el plano $\pi: 5x + my + z = 2$: