Practica por temas

Dados los vectores $\vec{u} = (a, b, 1)$, $\vec{v} = (-3, 4, 1)$ y $\vec{w} = (1, 2, c)$, determina el valor de los parámetros $a, b, c \in \mathbb{R}$ de manera que los vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean perpendiculares y además $\vec{u} \times \vec{w} = \vec{v}$, donde $\vec{u} \times \vec{w}$ denota el producto vectorial.

Sea $r$ la recta que pasa por el punto $P = (1, -1, 1)$ y tiene como vector director $\vec{v}_r = (1, 2, -2)$. ¿Existe algún valor de $k$ para el cuál la recta $r$ está contenida en el plano $\pi \equiv 2x + 3y + 4z = k$? En caso afirmativo, calcula el valor de $k$.

Determina los valores de $\alpha$ y $\beta$ para los que $\vec{w}$ es ortogonal a los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

Determina los valores de $\alpha$ y $\beta$ para los que $\vec{w}$ y $\vec{v}$ tienen la misma dirección.

Para $\alpha = 8$, determina el valor de $\beta$ para el que $\vec{w}$ es combinación lineal de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

Hallar la probabilidad de que fuera en día nublado.

Hallar la probabilidad de que fuera en día seco.

¿Qué significa geométricamente que tres vectores del espacio tridimensional sean linealmente dependientes?

Dados los vectores $\vec{u}_1 = (1, 2, 1)$, $\vec{u}_2 = (1, 3, 2)$, $\vec{v}_1 = (1, 1, 0)$ y $\vec{v}_2 = (3, 8, 5)$, demuestre que los vectores $\vec{u}_1$ y $\vec{u}_2$ dependen linealmente de los vectores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$. Determine la ecuación general del plano que pasa por el origen y contiene los vectores $\vec{v}_1$ y $\vec{v}_2$, y determine la posición relativa de los vectores $\vec{u}_1$ y $\vec{u}_2$ respecto a ese plano.