Practica por temas

Dada la función $$f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c,$$ calcula los parámetros $a, b, c \in \mathbb{R}$ sabiendo que: la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = -1$ tiene pendiente $-3$ y $f(x)$ tiene un punto de inflexión de coordenadas $(1, 2)$.

Sea la función $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $$f(x) = \begin{cases} e^x(x^2 + ax) & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{bx^2 + c}{x + 1} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Calcula las constantes $a$, $b$ y $c$ sabiendo que $f$ es derivable y que la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$ tiene pendiente $3$.

Determina los puntos de la recta $r \equiv \begin{cases} x - y + z = 0 \\ x + 3y - 1 = 0 \end{cases}$ que son equidistantes de los planos cartesianos $OYZ$ y $OXZ$.

Sean $\pi$ el plano que pasa por los puntos $A(2, 3, 4)$, $B(3, 1, 2)$, $C(5, 1, 2)$ y $r$ la recta que pasa por los puntos $D(6, -5, -4)$, $E(7, 1, 4)$.

Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: