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Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$. $$\begin{cases} tx + y + z = 4 \\ x - ty + z = 1 \\ x + y + z = t + 2 \end{cases}$$

Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos $P = (2,1,3)$ y $Q = (1,3,1)$, y los otros dos sobre una recta $r$ que pasa por el punto $R = (4,7,6)$. a) Calcular la ecuación de la recta $r$. (2 puntos) b) Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado. (3 puntos) c) Hallar las coordenadas de los otros dos vértices. (5 puntos)

Determine el valor del número positivo $a$ que hace que el área de la región encerrada por la recta $y = -2x$ y la parábola $y = ax^2 + 4x$ sea igual a 9 unidades cuadradas.

Una urna $S$ contiene 5 bolas blancas y 3 negras. Otra urna $T$, 6 blancas y 4 negras. Elegimos una urna al azar y extraemos dos bolas.

**Problema 3B.** Sean el plano $\pi \equiv x + y - z = 2$ y la recta $r \equiv \dfrac{x-1}{-3} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z-2}{-1}$. a) Calcular la ecuación de un plano $\pi'$ paralelo al plano $\pi$ y que esté a una distancia de $2\sqrt{3}$ unidades de la recta $r$. ¿Es único ese plano? Justifica la respuesta. **(1.5 puntos)** b) Calcular la ecuación de un plano $\pi''$ perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por los puntos $P(1,0,1)$ y $Q(0,1,0)$. **(1 punto)**