Practica por temas

Resuelva el sistema: $$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Sabiendo que el determinante de la matriz $A$ siguiente: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ x & y & z \end{pmatrix}$$ es 4, es decir $|A| = 4$, determine el determinante de la matriz $B$ que aparece a continuación: $$B = \begin{pmatrix} 2 & 3a + k & x + 5 \\ 2 & 3b + k & y + 5 \\ 2 & 3c + k & z + 5 \end{pmatrix}$$

¿En qué posición relativa pueden estar tres planos en el espacio que no tienen ningún punto en común?

Determine la posición relativa de los planos $\pi: x - 2y + 3z = 4$, $\sigma: 2x + y + z + 1 = 0$ y $\varphi: -2x + 4y - 6z = 0$.

Considérese el plano $\pi: 4x + 2y + bz = 2$ y la recta $r: \frac{x - 2}{3} = \frac{y - c}{2} = \frac{z - 3}{4}$, donde $b$ y $c$ son parámetros reales. Calcule los valores que tienen que tomar $b$ y $c$ para que la recta $r$ esté contenida en $\pi$.

Calcule la distancia del punto $P(1, 3, 1)$ al plano $\pi': 4x + 2y - 4z = 2$.

Hallar la ecuación de la recta paralela a los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ que pasa por el punto medio del segmento de extremos $P(1, -1, 0)$ y $Q(-1, -3, 2)$.

Calcular el ángulo formado por los planos $\pi_1$ y $\pi_2$.