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Dadas las rectas: $$r: \frac{x - 1}{k} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{-1}, \quad \text{con } k \neq 0$$ $$s: \begin{cases} x - y - z = 0 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$$

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} 2^x + a & \text{si } x \leq -1 \\ ax + b & \text{si } -1 < x \leq 0 \\ 3x^2 + 2 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Determinar si existen valores de los parámetros $a$ y $b$ para los que $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$. Justificar la respuesta.

Una ventana rectangular está coronada por un semicírculo tal y como se indica en la siguiente figura. Sabiendo que el perímetro de la ventana es de $20$ metros:

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependientes del parámetro real $a$: $$\begin{cases} x + ay + z = a + 1 \\ -ax + y - z = 2a \\ -y + z = a \end{cases}$$

Sean las rectas $$r : \begin{cases} x - y + 2z = 7 \\ x - y - 5z = -7 \\ z = 1 \end{cases} \quad s : \begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 \end{cases} \text{ con } t \in \mathbb{R}.$$