Practica por temas

Se considera la función: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - bx + 9}{x^2 + 3}, & x \leq 0 \\ \frac{ax}{e^x - 1} + 2, & x > 0 \end{cases}$$

Calcular el valor de los parámetros $c$ y $d$ sabiendo que la gráfica de la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 2x^3 - x^2 + cx + d$, tiene como recta tangente en el punto $P(1, -2)$ la recta de ecuación $y = 5x - 7$.

Dependiendo de los valores de $a$, estudia la continuidad de la función: $$f(x) = \begin{cases} \frac{(e^x - 1)^2}{e^{x^2} - 1} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases}$$

a) Sea $M$ una matriz cuadrada de orden 2 tal que $M^2 = 4M$. Determina la matriz $X$ que verifica la ecuación matricial $(M - 2I)^2 X = I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. b) Determina todas las matrices $B$ de la forma $\begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}$ que verifiquen $B^2 = 4B$. Si alguna es invertible, calcula su inversa. c) ¿Cuándo un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo? ¿Puede ser incompatible un sistema de ecuaciones lineales homogéneo? Justifica la respuesta.

Calcula el valor de $a > 0$ sabiendo que el área del recinto comprendido entre la parábola $y = x^2 + ax$ y la recta $y + x = 0$ vale $36$ unidades cuadradas.