Practica por temas

Demuestre que existe un único valor $x > 0$ solución de la ecuación $x^2 - e^{-x} = 0$.

Dibuja el recinto limitado por las parábolas de ecuaciones $y = 2x^2 - 4x + 3$ y $y = x^2 - 2x + 3$ y calcula el área de ese recinto.

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible: $$\begin{cases} (a^2 - 1)x + ay + a^2z = 1 \\ (a^2 - 1)x + (a + 1)y + (a^2 + a)z = 2 \\ y + (a^2 + 2a)z = a + 2 \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Dadas las matrices $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},$$ pruebe que la matriz inversa de $A$ es $A^{-1} = -A^2 + A + 2I$.

Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} -x & 1 & 1 \\ 1 & -x & 1 \\ 1 & 1 & -x \end{pmatrix}$$