Practica por temas

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = x^2 - |x|$.

Utilizando el teorema de Bolzano y de Rolle, pruebe que la ecuación $\tg x = 2x$ tiene una única raíz real en el intervalo $\left[ -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4} \right]$.

Calcular justificadamente:

De un terreno se desea vender un solar rectangular de $12\,800\,\text{m}^2$ dividido en 3 parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas). Determina las dimensiones del solar y de cada una de las tres parcelas para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(3x) - e^x + ax}{x \operatorname{sen}(x)}$ es finito, calcula $a$ y el valor del límite.