Practica por temas

3º) Se consideran las siguientes rectas: $r \equiv \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z}{-1}$, $s \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = -2 + 3\lambda. \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$ $a)$ Determina su posición relativa. $b)$ Si dichas rectas se cortan, calcula el ángulo mínimo formado entre ambas. En caso de que no se corten, calcula la distancia entre ambas rectas.

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2(x - 1)}$ para $x \neq 0$ y $x \neq 1$ y sea $F$ la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $P(2, \ln(2))$ ($\ln$ denota logaritmo neperiano).

Calcula $\int \ln(x^2 + 2x + 2) \, dx$ donde ln denota la función logaritmo neperiano. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = x + 1$).

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

En $\mathbb{R}^3$, considere los cuatro puntos $A = (0, 1, 1)$, $B = (-2, 0, -1)$, $C = (-1, 1, 0)$ y $D = (-2, 2, 1)$, y sea $r$ la recta que pasa por $C$ y por $D$.