Practica por temas

Considera las rectas $$r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{m} = z \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x + nz = -2 \\ y - z = -3 \end{cases}$$

Determinar la posición relativa de los siguientes planos: $$\beta_1 \equiv \begin{cases} x = -1 + 3\lambda - 2\mu \\ y = 4 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda - 5\mu \end{cases}, \quad \beta_2 \equiv x + y + z = 2, \quad \beta_3 \equiv \begin{vmatrix} x - 2 & 1 & 2 \\ y + 1 & 2 & 3 \\ z & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$

En el espacio se tiene la recta $r : \begin{cases} x + y - z = 1 \\ x - y - z = 0 \end{cases}$ y el plano $\pi : x + mz = 0$, donde $m$ es un parámetro real. Obtener razonadamente:

Considere el punto $P = (-1, 3, 1)$, el plano $\pi : x = y$ y la recta $r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = z - 2$.

Se considera el plano $\pi$ que pasa por los puntos $P \equiv (1, 1, 3)$, $Q \equiv (2, 1, 0)$ y $R \equiv (-1, -4, -1)$. Encuentra el punto de $\pi$ que más cerca está del punto $S \equiv (-3, 1, 1)$ (o sea, el pie de la perpendicular de $S$ a $\pi$).