Practica por temas

Considere la recta $r$ y el plano $\pi$ dados por las ecuaciones siguientes: $$r: \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 4}{-4} = \frac{z + 1}{0} \quad y \quad \pi: 7x - y = 8$$

Considera la recta $r \equiv \frac{x - 5}{-1} = y - 2 = z$ y sea $s$ la recta que pasa por los puntos $A = (1, 6, 6)$ y $B = (4, c, 5)$.

Calcula una primitiva de la función $f'(x) = \frac{1}{1 - x^2}$ de modo que $f(2) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$.

Dada la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx$, determina $a$, $b$ y $c$ sabiendo que su gráfica tiene un punto de inflexión en $(1,0)$, y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación $y = -3x + 3$.

Se considera la función $h(x) = ax + x^2$ donde $a$ es un parámetro real. Se pide: a) El valor de $a$ que hace que la gráfica de la función $y = h(x)$ tenga un mínimo relativo en la abscisa $x = \dfrac{-3}{4}$. (3 puntos) b) Para el valor de $a$ del apartado anterior, dibuja las curvas $y = h(x)$ e $y = h'(x)$. (2 puntos) c) Calcula el área del plano comprendida entre ambas curvas. (5 puntos)