Practica por temas

Se quiere contruir una estructura con forma de tetraedro cuya base tiene como vértices los puntos $A(0,0,0)$, $B(2,0,1/2)$ y $C(3/2,3,1)$ y el vértice superior, $D$, se encuentra en una viga recta entre los puntos $E(0,1,3)$ y $F(3,2,3)$ (es decir, $D = E + \lambda \vec{EF}$ con $\lambda \in [0, 1]$).

Dados los puntos $P \equiv (1, -2, 3)$ y $Q \equiv (3, 0, -1)$, encuentra el punto $R$ que equidista de $P$ y $Q$ y está en la recta $$r \equiv \frac{x - 4}{1} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 3}{1}$$

Se considera el plano $\pi$ que pasa por los puntos $P \equiv (1, 1, 3)$, $Q \equiv (2, 1, 0)$ y $R \equiv (-1, -4, -1)$. Encuentra el punto de $\pi$ que más cerca está del punto $S \equiv (-3, 1, 1)$ (o sea, el pie de la perpendicular de $S$ a $\pi$).

Dados el plano $\pi: x - y + 2z - 5 = 0$ y la recta $r: \begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x - y + z = 10 \end{cases}$:

Dado el plano $\pi : 2x + y - z = 0$ y la recta $r : \begin{cases} x - y + z = 3 \\ 2x + y = 1 \end{cases}$ se pide