Practica por temas

Un rectángulo está inscrito en el triángulo que tiene los lados en las rectas de ecuaciones $$y = x, \quad x + y = 8, \quad y = 0,$$ y tiene un lado sobre la recta $y = 0$. Halle sus vértices para que la superficie sea máxima.

Un agricultor dispone de $120$ metros de valla para delimitar una parcela con forma de pentágono. Los vértices del pentágono se nombrarán consecutivamente como $A, B, C, D$ y $E$. Se sabe que $A, B, D$ y $E$ forman un rectángulo, y que el punto $C$ se encuentra en el exterior de este rectángulo, formando un triángulo equilátero con los puntos $B$ y $D$. ¿A qué distancia del vértice $A$ el agricultor debe ubicar los vértices $B$ y $E$ si quiere que la parcela tenga la mayor área posible?

Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El terreno debe tener $180\,000\,\text{m}^2$ para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de modo que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al río no necesita vallado?

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida como: $$f(x) = \begin{cases} \cos x, & x \leq 0 \\ -x^2 + ax + b, & x > 0 \end{cases}$$ con $a$ y $b$ números reales.