Practica por temas

Se sabe que la derivada de una función $f$ es $f'(x) = (x + 1) \cdot (x^2 - 4)$.

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & -3 & 0 \\ 4 & a-7 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$, en la que $a$ es un parámetro real.

Sea $A = (a_{ij})$ la matriz de dimensión $3 \times 3$ definida por $a_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = 2, \\ (-1)^j(i - 1) & \text{si } i \neq 2. \end{cases}$ Explique si $A$ y $A + I$ son o no invertibles y calcule las inversas cuando existan. (Nota: $a_{ij}$ es el elemento de $A$ que está en la fila $i$ y en la columna $j$, e $I$ es la matriz identidad.)

Dada la función $$f(x) = \frac{2 \sen \left(\frac{\pi}{2} x^2\right)}{2^x \cos(\pi x^2) \sqrt[3]{x^2 - 4x + 11}}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 3)$ tal que $f'(\alpha) = 3$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.