Practica por temas

Dada la función $$f(x) = \frac{\cos(x^3 + 2x^2 + 3x)}{\sqrt{x^2 + x} + 2}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-2, 1)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Queremos construir un pequeño cobertizo de madera de $6\,\text{m}^3$ de volumen, en forma de prisma rectangular, adosado a la pared lateral de una casa, para guardar leña. Solo hay que construir, por tanto, el techo y tres paredes (la pared del fondo del cobertizo es la de la casa a la que está adosado). Además, queremos que el cobertizo mida el triple de anchura que de profundidad. Cada metro cuadrado de pared tiene un coste de construcción de $30\,\text{€}$ y el techo cuesta $50\,\text{€}$ por metro cuadrado. Una vez construido el cobertizo, añadirle una puerta tiene un coste fijo de $35\,\text{€}$.

Sea $f$ la función $f(x) = x^2 e^{-4x}$. Calcular la primera y la segunda derivada de $f$. Hallar los máximos y mínimos de $f$.