Practica por temas

Compruebe que la función $f(x)$ cumple el enunciado del teorema de Bolzano en el intervalo $[0, 2]$ y que, por tanto, la ecuación $f(x) = 0$ tiene alguna solución en el intervalo $(0, 2)$. Compruebe que $x = 1$ es una solución de la ecuación $f(x) = 0$ y razone, teniendo en cuenta el signo de $f'(x)$, que la solución es única.

A partir del resultado final del apartado anterior, encuentre el área limitada por la gráfica de la función $f(x)$, el eje de las abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 1$.

Demuestra que la función es continua en el intervalo $[1, 2]$.

Demuestra que existe $\alpha \in (1, 2)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Enuncia los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sen \alpha \\ -\sen \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & \sen \alpha \\ 0 & \beta & 0 \\ -\sen \alpha & 0 & \cos \alpha \end{pmatrix}$. Estudiar qué valores de $\alpha$ y $\beta$ hacen que sea cierta la igualdad $$(\det(A))^2 - 2 \det(A) \det(B) + 1 = 0$$

Utilizar las propiedades de los determinantes para calcular el valor de $\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 2 & a + 3 & b + 4 \\ 2 & c + 3 & d + 4 \end{vmatrix}$ con $a, b, c, d \in \mathbb{R}$.