Practica por temas

Se considera la función $h(x) = ax + x^2$ donde $a$ es un parámetro real. Se pide: a) El valor de $a$ que hace que la gráfica de la función $y = h(x)$ tenga un mínimo relativo en la abscisa $x = \dfrac{-3}{4}$. (3 puntos) b) Para el valor de $a$ del apartado anterior, dibuja las curvas $y = h(x)$ e $y = h'(x)$. (2 puntos) c) Calcula el área del plano comprendida entre ambas curvas. (5 puntos)

Queremos construir una pieza metálica que tenga por sección un trapecio isósceles con la base superior tres veces más larga que la base inferior. Los otros lados del trapecio miden $10\,\text{mm}$, tal como se puede observar en la figura siguiente:

Una hoja de papel tiene que contener $18\,\text{cm}^2$ de texto. Los márgenes superior e inferior han de tener $2\,\text{cm}$ cada uno y los laterales $1\,\text{cm}$. Calcula las dimensiones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo.

Una caja (prisma rectangular) tiene por dimensiones $A$, $2A$ y $3A$. Si disminuimos cada una de sus dimensiones en un $50\%$ ¿el volumen habrá disminuido en un $50\%$? ¿el área total habrá disminuido en un $50\%$? Razona las respuestas.

Calculeu els coeficients a, b, c i d de la funció f(x) = ax³ + bx² + cx + d si sabem que l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en el punt d'inflexió (1, 0) és y = −3x + 3 i que la funció té un extrem relatiu en el punt de la gràfica d'abscissa x = 0.