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Estudie en función del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$ el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + \lambda z = 1 \\ x + y + \lambda z = 1 \\ \lambda x - y + z = 1 \end{cases}$$

Resuelve el sistema (si es posible) para $\lambda = 1$.

Sin desarrollar el determinante, compruebe que: $$\begin{vmatrix} x & x + 1 & x + 2 \\ x & x + 3 & x + 4 \\ x & x + 5 & x + 6 \end{vmatrix} = 0$$

Determine el rango del conjunto de vectores $\{(1, -2, 0, -3), (-1, 3, 1, 4), (2, 1, 5, -1)\}$.

Estudie la existencia y unicidad de soluciones según los valores del parámetro $m$.

Resuelva el sistema de ecuaciones anterior para el caso $m = 2$.

Encuentra los valores del parámetro $\alpha$ para los que el sistema tiene una única solución.

¿Hay algún valor del parámetro $\alpha$ para el que el sistema no tiene solución? Razona tu respuesta.

¿Hay algún valor del parámetro $\alpha$ para el que el sistema tiene más de una solución? Si la respuesta es afirmativa, calcula esos valores de $\alpha$ y, para cada uno de ellos, encuentra dos soluciones distintas del sistema.