Practica por temas

Sea la función $f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 3$. Obtén sus máximos y mínimos relativos.

Una urna contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Se extraen al azar dos bolas sin reemplazamiento y se obtiene una puntuación igual a la suma de los valores correspondientes.

Determine el dominio, las posibles asíntotas, los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.

Calcule la ecuación general de la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 4$. Represente en un mismo gráfico la función $f(x)$ y la recta tangente.

Determine la abscisa de los puntos de inflexión de la función $f$ y los intervalos de concavidad y convexidad. Justifique que la función $f$ tiene un mínimo relativo en $x = 1$.

Sabiendo, además, que la recta tangente en el punto de abscisa $x = 1$ es $y = 5$, calcule la expresión de la función $f$.

Un rectángulo tiene sus vértices en los puntos $(0, 0)$, $(a, 0)$, $(0, b)$ y $(a, b)$, donde $a > 0$ y $b > 0$ y además el punto $(a, b)$ está situado en la curva de ecuación: $$y = \frac{1}{x^2} + 9$$ De entre todos los rectángulos que cumplen esas condiciones determine el rectángulo de área mínima y calcule dicha área mínima.

Determine: $$\int \frac{1}{9 - x^2} dx$$

Determine el valor de la constante $k$ para que se verifique que: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + x^2 + kx + 3}{x^3 - x^2 - x + 1} = 2$$