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Análisis: a) Si f(x) = ae^x + b, diga qué valores deben tener a y b para que se cumplan f(0) = 0 y lim(x→0) f(x)/x = 3. b) Estudie si la función f(x) = x + sin x tiene extremos o puntos de inflexión en el intervalo (0, 2π), diga dónde están en caso de que existan y esboce la gráfica de f en ese intervalo.

Considera el sistema de ecuaciones dado en forma matricial mediante $AX = B$ siendo $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & m + 2 & m \\ 1 & 1 & m + 2 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 - m \\ m \\ 7 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.$$

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $m$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible: $$\begin{cases} (m^2 - 3m)x - my + 2mz = 3 \\ (m^2 - 3m)x + 3y + 3mz = m + 9 \\ (3m - m^2)x + my - mz = 0 \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} \alpha x - 2y + z = \alpha \\ x - 2y + \alpha z = \alpha \\ -2x + y + \alpha z = -2 \end{cases}$$

Discutir según los valores de $m$ y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales $\begin{cases} mx + y = 2 \\ x + my = m \\ x + y = 2 \end{cases}$.