Practica por temas

Considera el sistema $$\begin{cases} y + z = 1 \\ (k - 1)x + y + z = k \\ x + (k - 1)y + z = 0 \end{cases}$$

Una empresa tiene tres minas: A, B y C, y en cada una, el mineral extraído contiene los elementos químicos: níquel (Ni), cobre (Cu) y hierro (Fe), en diferente concentración. Las concentraciones son: • Mina A: Ni (1%), Cu (2%), Fe (3%), • Mina B: Ni (2%), Cu (5%), Fe (7%), • Mina C: Ni (1%), Cu (3%), Fe (1%). Para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro en total, ¿cuántas toneladas de mineral se han de extraer de cada mina?

Sean $\vec{u}_1 = (-1, 3, 2)$, $\vec{u}_2 = (2, -1, 4)$ y $\vec{u}_3 = (a + 1, a - 1, 4a + 2)$ tres vectores del espacio vectorial $\mathbb{R}^3$.

**Problema 1.** a) Dado $k \in \mathbb{R}$, se considera el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} kx - y - z = 1 \\ x + ky + 2kz = k \end{cases}$$ Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$, y resolverlo para $k = -1$. **(1.5 puntos)** b) Sea $A$ una matriz cuadrada que verifica $A^2 = I + 3A$, donde $I$ denota la matriz identidad. Demostrar que el determinante de $A$ no es cero y expresar $A^{-1}$ en función de $A$ y de $I$. **(1 punto)**