Practica por temas

Halla el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} \sqrt{e^{3 - x}} & \text{si } x \leq 0 \\ (1 + x)^{(1 + \frac{a}{x})} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ sea continua en todo $\mathbb{R}$.

Encuentra la ecuación continua de la recta que pasa por el punto $P \equiv (1, -2, 3)$ y corta perpendicularmente a la recta $$r \equiv \begin{cases} x + y + z - 4 = 0 \\ 3x + y - 3z - 2 = 0 \end{cases}$$

Calcular el punto más cercano al punto $P = (1, 0, -1)$ de entre todos los puntos del plano determinado por los puntos $Q = (2, 2, 1)$, $R = (0, 1, 2)$ y $S = (0, 0, 1)$. Calcular la distancia de punto $P$ al plano.

Los puntos $A = (0, -1, 1)$ y $B = (1, 1, 1)$ son dos de los vértices de un triángulo. El tercer vértice $C$ está contenido en la recta $r$ que pasa por el punto $B$ y es perpendicular al plano $\pi : 2x - y + z = 1$.

Se considera la función $f(x) = \frac{3x^3}{x^2 - 4}$. Estudia sus asíntotas y simetrías. Estudia la aproximación de la función a sus asíntotas verticales.