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Determinar el valor de $a$ para que la recta $r$ de ecuación $r \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 2 \\ 2x + y + z = 3 \end{cases}$ sea paralela al plano $\beta \equiv x - ay + 10z = -3$.

Dado el plano $\pi : \begin{cases} x = -1 + 3\lambda - 2\mu \\ y = 4 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda - 5\mu \end{cases}$ con $(\lambda \in \mathbb{R}, \mu \in \mathbb{R})$ y dado el punto $P(0, 3, -1)$ exterior a $\pi$, obtener las ecuaciones en forma continua, en forma paramétrica y como intersección de dos planos, de la recta $r$ que pasa por $P$ y es perpendicular al plano $\pi$, explicando el procedimiento utilizado.

Calcule la ecuación general (es decir, de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$) de los planos que contienen la recta $r: \begin{cases} y = 2 \\ z = 1 \end{cases}$ y que forman un ángulo de $45^{\circ}$ con el plano $z = 0$.

Consideramos la función $f(x) = \frac{-2x^2 + x + 1}{2x^2 + 5x + 2}$.

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} a + x \ln(x), & \text{si } x > 0 \\ x^2 e^x, & \text{si } x \leq 0 \end{cases}$$ (donde $\ln$ denota logaritmo neperiano y $a$ es un número real) se pide: