Practica por temas

Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por un vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

a) Sea $M$ una matriz cuadrada de orden 2 tal que $M^2 = 4M$. Determina la matriz $X$ que verifica la ecuación matricial $(M - 2I)^2 X = I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden 2. b) Determina todas las matrices $B$ de la forma $\begin{pmatrix} x & y \\ y & x \end{pmatrix}$ que verifiquen $B^2 = 4B$. Si alguna es invertible, calcula su inversa. c) ¿Cuándo un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo? ¿Puede ser incompatible un sistema de ecuaciones lineales homogéneo? Justifica la respuesta.

Enuncia el teorema de Rouché-Frobenius. En función del parámetro $a$, discute y resuelve cuando sea posible el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} x + y + z = a \\ x + y + az = 1 \\ x + ay + z = 1 \end{cases}$$

Dada la siguiente matriz: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & m \\ 2 & m & m + 2 \\ m - 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.$$

Sean $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ x & 3 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ y & 1 \end{pmatrix}$ con $x, y \in \mathbb{R}$.