Practica por temas

Considerar la función $f(x) = e^{-x^2}$ para los valores positivos de $x$. Por cada punto $M = (x, f(x))$ de la gráfica de $f$ se trazan dos rectas paralelas a los ejes de coordenadas, $MH$ y $MK$. Estas dos rectas, junto con los ejes de coordenadas, definen un rectángulo.

**E4.- (Geometría)** a) Encontrar el valor de $a \in \mathbb{R}$, para que las rectas $$r \equiv \begin{cases} x + y - 5z = -3 \\ -2x + z = 1 \end{cases} \quad y \quad s \equiv x + 1 = \dfrac{y-3}{a} = \dfrac{z}{2}$$ sean paralelas. **(1 punto)** b) Si $a = 9$, calcular la ecuación del plano que las contiene. **(1 punto)**

Prueba que para cualquier valor de $a \neq 0$, los planos $x + ay - az = 0$ y $-x + 2ay - 2az = 0$ se cortan en una recta $r$. Calcula la posición relativa de $r$ respecto del plano que pasa por el origen de coordenadas y los puntos $A(1, 0, -6)$ y $B(0, 2, a + 3)$ (se supone que $a eq 0$ para que $r$ esté definida).

Dadas las funciones $$f(x) = 2 + 2x - 2x^2 \quad \text{y} \quad g(x) = 2 - 6x + 4x^2 + 2x^3,$$ se pide:

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(3, 1)$ y tal que el área del triángulo formado por esta recta y los semiejes positivos coordenados sea mínima.