Practica por temas

Sea $f(x)$ una función derivable cuya gráfica pasa por el punto $(0, 1)$. La gráfica de su derivada, $f'(x)$, es la que se muestra en la figura.

Ejercicio 3.1: Dados los planos π₁: x + 2y + mz = -1 donde m es un parámetro real, y π₂: x + z = 6.

Determinar el valor de $a$ para que la recta $r$ de ecuación $r \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 2 \\ 2x + y + z = 3 \end{cases}$ sea paralela al plano $\beta \equiv x - ay + 10z = -3$.

Sea $\Pi$ el plano determinado por los puntos $A = (1, 0, 0)$, $B = (0, 1, 0)$ y $P = (0, 0, c)$, y sea la recta $r: \begin{cases} x - y = 3 \\ 2x - z = 3 \end{cases}$

Se tiene un cuadrado de mármol de lado $80\,\text{cm}$. Se produce la rotura de una esquina y queda un pentágono de vértices $A = (20, 0)$, $B = (0, 20)$, $C = (0, 80)$, $D = (80, 80)$ y $E = (80, 0)$. Para obtener una pieza rectangular se elige un punto $P = (x, y)$ del segmento $AB$ y se hacen dos cortes paralelos a los ejes $X$ e $Y$. Así se obtiene un rectángulo $R$ cuyos vértices son los puntos $P = (x, y)$, $F = (y, 80)$, $D = (80, 80)$ y $G = (x, 80)$. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: